数学のブログ

行列式連立1次方程式と行列式クラメルの公式、背理法

線形代数演習
〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉
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学習環境

線形代数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (浅野功義(著)、大関清太(著)、岩波書店)の第3章(行列式)、3-1(連立1次方程式と行列式)、問題4の解答を求めてみる。

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} = 0 \end{cases}

が解もつとし、その解を

\begin{array}{l} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{array}

とする。

このとき、

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} \cdot 1 = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} \cdot 1 = 0 \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} \cdot 1 = 0 \end{cases}

を考えれば、

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = 0 \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = 0 \end{cases}

の解は、

\begin{array}{l} x = x_{0} \\ y = y_{0} \\ z = 1 \end{array}

である。

\det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}] \neq 0

と仮定すると、 zの解は

z = \frac{\det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & 0 \\ a_{2} & b_{2} & 0 \\ a_{3} & b_{3} & 0 \end{matrix}]}{\det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}]} = 0

となり矛盾。

よって、

\det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}] = 0

である。

（証明終）