数学のブログ

行列と双線形写像 対称作用素 対称行列、積、可換であるための必要十分条件、転置行列

ラング線形代数学(下) (ちくま学芸文庫) (S.ラング(著)、芹沢 正三(翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、3(対称作用素)、練習問題18の解答を求めてみる。

行列A、Bをn次の正方行列とする。

A B = B A

ならば、

A B = ( ∑ k = 1 n a i k b k j ) = ( ∑ k = 1 b i k a k j ) = ( ∑ k = 1 n a k j b i k ) = ( ∑ k = 1 n a j k b k i ) = ( A B ) T

よって、 ABは対称行列である。

逆について。

ABが対称行列ならば、

A B = ( A B ) T = ( ∑ k = 1 n a i k b k j ) T = ( ∑ k = 1 n a j k b k i ) = ( ∑ k = 1 n b k i a j k ) = ( ∑ k = 1 n b i k a k j ) = B A

（証明終）