無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数極限の計算極限の法則極限値と四則級数、平方

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、極限の法則(1)、極限値と四則の問5の解答を求めてみる。

\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k = 1}^{n} k}{n^{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} \frac{n (n + 1)}{2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{2}

\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k = 1}^{n} k^{2}}{n^{3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}} \cdot \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n})

= \frac{1}{3}

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}} \sum_{k = 1}^{n} (2 k^{2} + k) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}} (\frac{1}{3} n (n + 1) (2 n + 1) + \frac{n (n + 1)}{2})

= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}} n (n + 1) (\frac{2 n + 1}{3} + \frac{1}{2})

= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} (n + 1) \frac{4 n + 5}{6}

= \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{6} (4 + \frac{5}{n})

= \frac{2}{3}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[Sum[k, {k, 1, n}] / n^2, n -> Infinity]

Limit[Sum[k^2, {k, n}] / n^3, n -> Infinity]

Limit[1/n^3 Sum[2k^2+k,{k,n}],n->Infinity]

ListLinePlot[Table[Sum[k, {k, 1, n}] / n^2, {n, 10}]]

ListLinePlot[Table[Sum[k^2, {k, n}] / n^3, {n, 10}]]

ListLinePlot[Table[1/n^3 Sum[2k^2+k,{k,n}], {n, 10}]]