無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 極限の計算 極限の法則 極限値と四則 直角三角形、斜辺の分割、平方、無限級数 新装版 数学読本4 楽天ブックス Yahoo!ショッピング au PAY マーケット 学習環境 Surface Windows 10 Pro (OS) Nebo(Windows アプリ) iPad MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iPadOS)) ハンズ・オン・スタートMathematica® -Wolfram言語™によるプログラミング(参考書籍) Pythonからはじめる数学入門(参考書籍) 新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、極限の法則(1)、極限値と四則の問7の解答を求めてみる。 点 P k ( k = 1 , … , n ) から辺AB、 AC に下ろした垂線をそれぞれ P k Q k , P k R k とすると、 A P k 2 = P k Q k 2 + P k R k 2 である。よって、 ∑ k = 1 n A P k 2 = ∑ k = 1 n ( P k Q k 2 + P k R k 2 ) = ∑ k = 1 n P k Q k 2 + ∑ k = 1 n P k R k 2 また、 問題の仮定より、 P k Q k = c n + 1 k , P k R k = b n + 1 k なので、 ∑ k = 1 n A P k 2 = ∑ k = 1 n ( c n + 1 k ) 2 + ∑ k = 1 n ( b n + 1 k ) 2 = ( c n + 1 ) 2 ∑ k = 1 n k 2 + ( b n + 1 ) 2 ∑ k = 1 n k 2 = b 2 + c 2 ( n + 1 ) 2 ∑ k = 1 n k 2 = a 2 ( n + 1 ) 2 1 6 n ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) = a 2 n ( 2 n + 1 ) 6 ( n + 1 ) よって、 lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n A P k 2 = lim n → ∞ a 2 ( 2 n + 1 ) 6 ( n + 1 ) = 1 3 a 2
