無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数極限の計算極限の法則極限値と四則平方根、式の変形

新装版数学読本4
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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、極限の法則(1)、極限値と四則の問3の解答を求めてみる。

\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

= 0

\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{2} - 2 n} - n

= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} - 2 n - n^{2}}{\sqrt{n^{2} - 2 n} + n}

= \lim_{n \to \infty} \frac{- 2 n}{\sqrt{n^{2} - 2 n} + n}

= \lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{\sqrt{1 - \frac{2}{n}} + 1}

= - 1

\lim_{n \to \infty} \frac{(n^{2} + n + 1) - (n^{2} - n + 1)}{\sqrt{n^{2} + n + 1} + \sqrt{n^{2} - n + 1}}

= \lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} + n + 1} + \sqrt{n^{2} - n + 1}}

= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}}

= 1

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 n^{2} + n} + 2 n}{4 n^{2} + n - 4 n^{2}}

= \lim_{n \to \infty} (\sqrt{4 + \frac{1}{n^{2}}} + 2)

= 4

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[{Sqrt[n + 1] - Sqrt[n], Sqrt[n^2-2n]-n, Sqrt[n^2+n+1]-Sqrt[n^2-n+1], 1 / (Sqrt[4n^2+n] - 2n)},
      n -> Infinity]

{0, -1, 1, 4}

Plot[{Sqrt[n + 1] - Sqrt[n], Sqrt[n^2-2n]-n, Sqrt[n^2+n+1]-Sqrt[n^2-n+1], 1 / (Sqrt[4n^2+n] - 2n),
      0, -1, 1, 4},
      {n, 1, 10},
      PlotLegends -> "Expressions"]