無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数極限の計算極限の法則極限値と四則三角関数、正弦と余弦、対数関数

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、極限の法則(1)、極限値と四則の問6の解答を求めてみる。

\lim_{n \to \infty} \sin \frac{π}{n} = \sin 0 = 0

\lim_{n \to \infty} \cos \frac{π}{n} = \cos 0 = 1

\lim_{n \to \infty} (\log_{2} \sqrt{n} - \log_{2} \sqrt{16 n + 5}) = \lim_{n \to \infty} \log_{2} \sqrt{\frac{n}{16 n + 5}}

= \lim_{n \to \infty} \log_{2} \sqrt{\frac{1}{16 + \frac{5}{n}}}

= \log_{2} 2^{- 2}

= - 2

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[{Sin[Pi/n], Cos[Pi/n], Log[2, Sqrt[n]] - Log[2, Sqrt[16n + 5]]}, n -> Infinity]

Simplify[%]

-Log[16]/Log[4] == -2

ListLinePlot[Table[Sin[Pi/n], {n, 100}]]

ListLinePlot[Table[Cos[Pi/n], {n, 100}]]

ListLinePlot[Table[Log[2, Sqrt[n]] - Log[2, Sqrt[16n + 5]], {n, 100}]]