数学のブログ

無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 極限の計算 無限等比数列(r^n) 極限値、収束、関数、三角関数、正弦と余弦、場合分

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、無限等比数列(r^n)の極限の問16の解答を求めてみる。

1

k ∈ ℤ x = π 2 + k π

のとき、

lim n → ∞ | sin x | n = lim n → ∞ 1 n = 1
x ≠ π 2 + k π k ∈ ℤ

の場合、

| sin x | < 1 lim n → ∞ | sin x | n = 0

よって、 極限値の関数は、

k ∈ ℤ f ( x ) = { 1 ( x ∈ π 2 + k π ) 0 ( x ∉ k π 2 + k )

になる。

2

k ∈ ℤ x = k π

のとき、

lim n → ∞ ( | sin x | n + | cos x | n ) = 0 + 1 = 1
k ∈ ℤ x = π 2 + k π

のとき、

lim n → ∞ ( | sin x | n + | cos x | n ) = 1 + 0 = 1
k ∈ ℤ x ∉ k π 2

のとき、

| sin x | < 1 | cos x | < 1

なので、

lim n → ∞ ( | sin x | n + | cos x | n ) = 0

よって、 極限値の関数は、

k ∈ ℤ f ( x ) = { 1 ( x ∈ k π 2 ) 0 ( x ∉ k π 2 )

となる。