無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数極限の計算無限等比数列(r^n) 収束、発散、振動

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、無限等比数列(r^n)の極限の問13の解答を求めてみる。

\lim_{n \to \infty} 1.00 1^{n} = \infty

\lim_{n \to \infty} {(- 0.8)}^{n} = 0

発散、振動する。

\begin{array}{l} \sqrt{10} > 3 \\ \lim_{n \to \infty} {(\frac{\sqrt{10}}{3})}^{n} = \infty \end{array}

\lim_{n \to \infty} {(\frac{2 \sqrt{6}}{5})}^{n} = \lim_{n \to \infty} {(\sqrt{\frac{24}{25}})}^{n} = 0

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 2^{n}} = 0

\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2^{n}}{1 - 2^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^{n}} + 1}{\frac{1}{2^{n}} - 1} = - 1

\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n + 1} - 4^{n + 1}}{3^{n} - 4^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{{(\frac{2}{4})}^{n} \cdot 2 - 4}{{(\frac{3}{4})}^{n} - 1} = 4

\lim_{n \to \infty} \frac{0. 3^{n} + 0. 2^{n}}{0. 4^{n} - 0. 1^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{{(\frac{3}{4})}^{n} + {(\frac{2}{4})}^{7}}{1 - {(\frac{1}{4})}^{n}} = 0

\lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{2})}^{n} \cos n π = 0

\lim_{n \to \infty} \frac{r^{2 n} - 4^{n}}{r^{2 n} + 4^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{{(\frac{r^{2}}{4})}^{n} - 1}{{(\frac{r^{2}}{4})}^{n} + 1}

場合分け。

\begin{array}{l} | r^{2} | < 4 \\ | r | < 2 \end{array}

のとき、極限は

\frac{- 1}{1} = - 1

| r | = 2

のとき、

\frac{1 - 1}{1 + 1} = 0

| r | > 2

のとき、

\lim_{n \to \infty} \frac{r^{2 n} - 4^{n}}{r^{2 n} + 4^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - {(\frac{4}{r^{2}})}^{n}}{1 + {(\frac{4}{r^{2}})}^{n}} = 1