数学のブログ

無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 極限の計算 無限等比数列(r^n) 収束、極限値、関数、グラフの描画

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、無限等比数列(r^n)の極限の問15の解答を求めてみる。

1

| x | > 1

のとき、

lim n → ∞ x 2 n 1 + x 2 n = lim n → ∞ 1 1 x 2 n + 1 = 1
| x | = 1

のとき、

lim n → ∞ x 2 n 1 + x 2 n = lim n → ∞ ( x 2 ) n 1 + ( x 2 ) n = 1 2
| x | < 1

のとき、

lim n → ∞ x 2 n 1 + x 2 n = 0

よって、問題の数列は収束する。

極値の関数f(x）のグラフの描画。

2

| x | < 1 lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 = 1
x = 1 lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 = 1 + 1 1 + 1 = 1
x = - 1 lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 = lim n → ∞ ( x 2 ) n x + 1 ( x 2 ) n + 1 = - 1 + 1 1 + 1 = 0
| x | > 1 lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 = lim n → ∞ x + 1 x 2 n 1 + 1 x 2 n = x

3

| x | < 1 lim n → ∞ | x | n - 1 | x | n + 1 = - 1 | x | = 1 lim n → ∞ | x | n - 1 | x | n + 1 = 0 | x | > 1 lim n → ∞ | x | n - 1 | x | n + 1 = lim n → ∞ 1 - 1 | x | n 1 + 1 | x | n = 1

4

| x | < 1 lim n → ∞ x + x 2 n x 2 n + 1 = x x = 1 lim n → ∞ x + x 2 n x 2 n + 1 = 1 x = - 1 lim n → ∞ x + x 2 n x 2 n + 1 = - 1 + 1 1 + 1 = 0 | x | > 1 lim n → ∞ x + x 2 n x 2 n + 1 = lim n → ∞ 1 x 2 n - 1 + 1 1 + 1 x 2 n = 1

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Plot[Limit[x^(2n)/(1+x^(2n)), n -> Infinity], {x, -2, 2}]
Output
Plot[Limit[(x^(2n+1)+1)/(x^(2n)+1), n -> Infinity], {x, -2, 2}]
Output
Plot[Limit[(Abs[x]^n-1)/(Abs[x]^n+1), n -> Infinity], {x, -2, 2}]
Output
Plot[Limit[(x+x^(2n))/(1+x^(2n)), n -> Infinity], {x, -2, 2}]
Output