無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数極限の計算極限の法則 +∞、-∞に発散する数列累乗、和、差、積、発散、振動

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、極限の法則(3)、+∞、-∞に発散する数列の問11の解答を求めてみる。

正しくない。

反例。

a_{n} = {(- 1)}^{n}

ならば、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} a_{n}^{2} = \lim_{n \to \infty} {(- 1)}^{2 n} = \lim_{n \to \infty} 1^{n} = 1 \\ \lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 1 \\ \lim_{n \to \infty} a_{n} \neq - 1 \end{array}

正しくない。

反例

\begin{array}{l} a_{n} = 2 n \\ b_{n} = n \end{array}

のとき、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty \\ \lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty \\ \lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = \lim_{n \to \infty} (2 n - n) = \lim_{n \to \infty} n = \infty \neq 0 \end{array}

正しい。

正しくない。

反例。

\begin{array}{l} a_{n} = n \\ b_{n} = {(- 1)}^{n} n \end{array}

ならば、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty \\ \lim_{n \to \infty} b_{n} = - \infty \\ \lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = \lim_{n \to \infty} (1 + {(- 1)}^{n}) n \neq \infty \end{array}