数学のブログ

無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 極限の計算 極限の法則 極限値と不等式 数列の極限、絶対値の極限

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、極限の法則(2)、極限値と不等式の問9の解答を求めてみる。

1

| ( x - y ) + y | ≤ | x - y | + | y |
| x | ≤ | x - y | + | y |
| x | - | y | ≤ | x - y |

また、

| ( y - x ) + x | ≤ | y - x | + | x |
| y | - | x | ≤ | x - y |
| x | - | y | ≥ | x - y |

よって、

| x - y | ≤ | x | - | y | ≤ | x - y |
| | x | - | y | | ≤ | x - y |

2

lim n → ∞ a n = α

ならば、

lim n → ∞ | a n - α | = 0

また、

| | a n | - | α | | ≤ | a n - α |

よって、

lim n → ∞ | | a n | - | α | | = 0

ゆえに、

lim n → ∞ | a n | = | α |

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Abs[Abs[x] - Abs[y]] <= Abs[x - y]
Output
Simplify[%, Element[{x, y}, Reals]]
Output
Plot3D[{Abs[Abs[x] - Abs[y]], Abs[x - y]}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5},
       PlotLegends -> "Expressions"]
Output