無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数極限の計算極限の法則極限値と不等式三角関数、正弦と余弦、倍角、逆数、累乗

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、極限の法則(2)、極限値と不等式の問8の解答を求めてみる。

- 1 \leq \cos n θ \leq 1

- \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n} \cos n θ \leq \frac{1}{n}

\lim_{n \to \infty} \pm \frac{1}{n} = 0

よって、

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos n θ = 0

| \sin 2 n θ | \leq 1

| \frac{1}{n} \sin 2 n θ | \leq \frac{1}{n}

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

よって、

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin 2 n θ = 0

- 1 \leq \sin 2 n θ \leq 1

0 \leq \sin^{2} 2 n θ \leq 1

0 \leq \frac{1}{n} \sin^{2} 2 n θ \leq \frac{1}{n}

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

よって、

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin^{2} 2 n θ = 0

- 1 \leq \cos \frac{n π}{3} \leq 1

| \cos^{2} \frac{n π}{3} | \leq 1

| \frac{1}{n^{2}} \cos^{2} \frac{n π}{3} | \leq \frac{1}{n^{2}}

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0

よって、

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} \cos^{2} \frac{n π}{3} = 0

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[{1/n Cos[n theta], 1/n^2 Sin[2n theta], 1/n Sin[2n theta]^2, 1/n^2 Cos[n Pi/3]^2}, n -> Infinity]

Simplify[%, Element[theta, Reals]]

Limit[1/n Sin[2n (-10)]^2, n -> Infinity]

Limit[1/n Sin[2n 0]^2, n -> Infinity]

Plot3D[1/n Cos[n theta], {n, 1, 10}, {theta, -5, 5},
       AxesLabel -> Automatic]

Plot3D[1/n^2 Sin[2n theta], {n, 1, 10}, {theta, -5, 5},
       AxesLabel -> Automatic]

Plot3D[1/n Sin[2n theta]^2, {n, 1, 10}, {theta, -5, 5},
       AxesLabel -> Automatic]

ListLinePlot[Table[1/n^2Cos[n Pi/3]^2, {n, 10}]]