微分法導関数とその計算連続性、不連続、三角関数、正弦と余弦、累乗(平方)、逆数

学習環境

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第3章(微分法)、3-1(導関数とその計算)、問題3の解答を求めてみる。

導関数。

x \neq 0

のとき、

\frac{d}{dx} f (x) = \frac{d}{dx} (x^{2} \sin \frac{1}{x}) = 2 x \sin \frac{1}{x} + x^{2} (\cos \frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})

= 2 x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}

x = 0

のとき、

\frac{d}{dx} f (0) = \lim_{h \to 0} \frac{f (0 + h) - f (0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^{2} \sin \frac{1}{h} - 0}{h}

= \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h}

= 0

よって、問題の関数f は全区間

- \infty < x < \infty

で微分可能。

連続性について。

\lim_{x \to 0} \frac{d}{dx} f (x) = \lim_{x \to 0} (2 x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}) = - \lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x} \neq 0

よって、

x \neq 0

において導関数は不連続である。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[x_] := If[x == 0, 0, x^2 Sin[1/x]]

f'[x]

% // Simplify

Plot[{f[x], f'[x]}, {x, -1, 1}, PlotLegends -> "Expressions"]

Plot[{f[x], f'[x]}, {x, -0.1, 0.1}, PlotLegends -> "Expressions"]