微分法合成関数の微分、逆関数の微分、三角関数、正弦と余弦、逆三角関数、逆正接関数と逆正弦関数、対数関数、累乗、平方根

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微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第3章(微分法)、3-2(微分法)、問題2の解答を求めてみる。

y = \arctan x

とおくと、

\tan y = x

両辺を変数yについて微分する。

\frac{d}{dy} \tan y = \frac{dx}{dy}

\frac{1}{\cos^{2} y} = \frac{dx}{dy}

よって、

\frac{dy}{dx} = \cos^{2} y = \frac{\cos^{2} y}{\cos^{2} y + \sin^{2} y}

= \frac{1}{1 + \tan^{2} y}

= \frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{d}{dx} \log | \cos x | = \frac{1}{\cos x} \cdot (- \sin x) = - \tan x

y = \arcsin x

とおくと、

x = \sin y

\frac{dx}{dy} = \cos y = \sqrt{1 - \sin^{2} y} = \sqrt{1 - x^{2}}

よって

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

ゆえに、

\frac{d}{dx} \frac{1}{2} (x \sqrt{1 - x^{2}} + \arcsin x)

= \frac{1}{2} (\sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}})

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - x^{2} - x^{2} + 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

= \frac{1 - x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}

= \sqrt{1 - x^{2}}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

fs[x_] := {ArcTan[x], Log[Abs[Cos[x]]], 1/2(x Sqrt[1-x^2] + ArcSin[x])}

D[fs[x], x]

Simplify[%]

D[Log[Cos[x]], x]

Plot[Evaluate[fs[x]], {x, -5, 5},
     PlotRange -> {-5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"]