数学のブログ

多変数の関数 高次導関数、テイラーの定理 3次のテイラー多項式、三角関数、正弦と余弦、指数関数、平方根、逆数

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次導関数、テイラーの定理)、問題10の解答を求めてみる。

a

D 1 f ( x , y ) = y cos x y D 2 f ( x , y ) = x cos x y
D 1 2 f ( x , y ) = - y 2 sin x y D 1 D 2 f ( x , y ) = cos x y - x y sin x y D 2 2 f ( x , y ) = - x 2 sin x y
D 1 3 f ( x , y ) = - y 3 cos x y D 1 2 D 2 f ( x , y ) = - y sin x y - y sin x y - x y 2 cos x y D 1 D 2 2 f ( x , y ) = - 2 x sin x y - x 2 y cos x y D 2 3 f ( x , y ) = - x 3 cos x y

よって求める問題の関数の3次までのテイラー多項式は、

2 x y 2 ! = x y

b

D 1 f ( x , y ) = a e a x cos b y D 2 f ( x , y ) = - b e a x sin b y
D 1 2 f ( x , y ) = a 2 e a x cos b y D 1 D 2 f ( x , y ) = - a b e a x sin b y D 2 2 f ( x , y ) = - b 2 e a x cos b y
D 1 3 f ( x , y ) = a 3 e a x cos b y D 1 2 D 2 f ( x , y ) = - a 2 b e a x sin b y D 1 D 2 2 f ( x , y ) = - a b 2 e a x cos b y D 2 3 f ( x , y ) = - b 3 e a x sin b y
1 + a x + a 2 x 2 - b 2 y 2 2 ! + a 3 x 3 - 3 a b 2 x y 2 3 !

c

D 1 f ( x , y ) = - 1 2 ( ( 1 + x ) ( 1 + y ) ) - 3 2 ( 1 + y ) = - 1 2 ( 1 + x ) - 3 2 ( 1 + y ) - 1 2 D 2 f ( x , y ) = - 1 2 ( 1 + x ) - 1 2 ( 1 + y ) - 3 2
D 1 2 f ( x , y ) = 3 4 ( 1 + x ) - 5 2 ( 1 + y ) - 1 2 D 1 D 2 f ( x , y ) = 1 4 ( 1 + x ) - 3 2 ( 1 + y ) - 3 2 D 2 2 f ( x , y ) = 3 4 ( 1 + x ) - 1 2 ( 1 + y ) - 5 2
D 1 3 f ( x , y ) = - 15 8 ( 1 + x ) - 7 2 ( 1 + y ) - 1 2 D 1 2 D 2 f ( x , y ) = - 3 8 ( 1 + x ) - 5 2 ( 1 + y ) - 3 2 D 1 D 2 2 f ( x , y ) = - 3 8 ( 1 + x ) - 3 2 ( 1 + y ) - 5 2 D 2 2 f ( x , y ) = - 15 8 ( 1 + x ) - 1 2 ( 1 + y ) - 7 2
1 - x + y 2 + 1 2 ! ( 3 4 x 2 + 1 2 x y + 3 4 y 2 ) - 15 x 3 + 9 x 2 y + 9 x y 2 + 15 y 3 3 ! 8
= 1 - x + y 2 + 1 8 ( 3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 ) - 1 16 ( 5 x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + 5 y 3 )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Plot3D[{Sin[x y], x y},
       {x, -2, 2},
       {y, -2, 2},
       PlotRange -> {-2, 2},
       PlotLegends -> "Expressions"]
Output
Plot3D[{Exp[2 x] Cos[3 y],
        1+2 x + (2^2 x^2 - 3^2 y^2) / 2 + (2^3 x^3 - 3 2 3^2 x y^2)/6},
       {x, -2, 2},
       {y, -2, 2},
       PlotRange -> {-2, 2},
       PlotLegends -> "Expressions"]
Output
Plot3D[{1 / Sqrt[(1+x)(1+y)],
        1 - (x + y)/2 + 1/8(3x^2+2x y + 3y^2)-1/16(5x^3+3x^2y+3x y^2+5y^3)},
       {x, -2, 2},
       {y, -2, 2},
       PlotRange -> {-2, 2},
       PlotLegends -> "Expressions"]
Output