数学のブログ

多変数の関数 高次導関数、テイラーの定理 連続性、偏微分、偏導関数

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次導関数、テイラーの定理)、問題1の解答を求めてみる。

a

f ( x , y ) = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2
( x , y ) ≠ ( 0 , 0 )

のとき、

D 1 f = ( 3 x 2 y - y 3 ) ( x 2 + y 2 ) - ( x 3 y - x y 3 ) 2 x ( x 2 + y 2 ) 2
= 3 x 4 y + 3 x 2 y 3 - x 2 y 3 - y 5 - 2 x 4 y + 2 x 2 y 3 ( x 2 + y 2 ) 2
= x 4 y + 4 x 2 y 3 - y 5 ( x 2 + y 2 ) 2

よって、

| D 1 f | ≤ 6 ( x 2 + y 2 ) 1 2

ゆえに、

lim X → ( 0 , 0 ) D 1 f ( X ) = 0

また、

D 1 f ( 0 , 0 ) = 0

よって、

D 1 f

は 連続である。

( x , y ) ≠ ( 0 , 0 )

のとき、

D 2 f = ( x 3 - 3 x y 2 ) ( x 2 + y 2 ) - ( x 3 y - x y 3 ) 2 y ( x 2 + y 2 ) 2
= x 5 + x 3 y 2 - 3 x 3 y 2 - 3 x y 4 - 2 x 3 y 2 + 2 x y 4 ( x 2 + y 2 ) 2
= x 5 - 4 x 3 y 2 - x y 4 ( x 2 + y 2 ) 2

よって、

| D 2 f | ≤ 6 ( x 2 + y 2 ) 1 2

ゆえに、

lim X → ( 0 , 0 ) D 2 f ( X ) = 0

また、

D 2 f ( 0 , 0 ) = 0

よって、

D 2 f

は連続である。

（証明終）

b

x , y ≠ ( 0 , 0 ) D 1 f , D 2 f

はそれぞれ

y , x

について 仕意回微分可能なので、

D 1 D 2 f , D 2 D 1 f

は連続。

（証明終）

c

( D 1 D 2 f ) ( 0 , 0 ) = lim h → 0 D 2 f ( h , 0 ) - D 2 f ( 0 , 0 ) h
= lim h → 0 h 5 h 4 · h
= 1
( D 2 D 1 f ) ( 0 , 0 ) = lim h → 0 D 1 f ( 0 , h ) - D 1 f ( 0 , 0 ) h
= lim h → 0 - h 5 h 4 · 1 h
= - 1

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[x_, y_] := x y(x^2-y^2)/(x^2+y^2)

D[f[x, y], x]
Output
Simplify[%]
Output
D[f[x, y], y] // Simplify
Output
D[f[x, y], {x, y}] // Simplify
Output
D[f[x, y], {y, x}] // Simplify
Output
Plot3D[f[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[Evaluate[D[f[x, y], x]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[Evaluate[D[f[x, y], y]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[Evaluate[D[f[x, y], {x, y}]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[Evaluate[D[f[x, y], {y, x}]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output