数学のブログ

多変数の関数 高次導関数、テイラーの定理 極座標系、球座標、半径、z軸、x軸となす角、三角関数、制限と余弦、偏微分、平方、和、等式の証明

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次導関数、テイラーの定理)、問題11の解答を求めてみる。

∂ g ∂ r = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , f ∂ z ) · ( sin θ cos φ , sin θ sin φ , cos θ )
= ∂ f ∂ x sin θ cos φ + ∂ f ∂ y sin θ sin φ + ∂ f ∂ z cos θ
∂ g ∂ θ = ∂ f ∂ x r cos θ cos φ + ∂ f ∂ y r cos θ sin φ - ∂ f ∂ z r sin θ
∂ g ∂ φ = - ∂ f ∂ x r sin θ sin φ + ∂ f ∂ y r sin θ cos φ
( ∂ g ∂ r ) 2 = ( ∂ f ∂ x ) 2 sin 2 θ cos 2 φ + ( ∂ f ∂ y ) 2 sin 2 θ sin 2 φ + ( ∂ f ∂ z ) 2 cos 2 θ + 2 ( ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y sin 2 θ sin φ cos φ + ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z sin θ cos θ sin φ + ∂ f ∂ z ∂ f ∂ x sin θ cos θ cos φ )
( 1 r ∂ g ∂ θ ) 2 = ( ∂ f ∂ x ) 2 cos 2 θ cos 2 φ + ( ∂ f ∂ y ) 2 cos 2 θ sin 2 φ + ( ∂ f ∂ z ) 2 sin 2 θ + 2 ( ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y cos 2 θ sin φ cos φ - ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z sin θ cos θ sin φ - ∂ f ∂ z ∂ f ∂ x sin θ cos θ cos φ )
( 1 r sin θ ∂ g ∂ φ ) 2 = ( ∂ f ∂ x ) 2 sin 2 φ + ( ∂ f ∂ y ) 2 cos 2 φ - 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y sin φ cos φ

よって、

( ∂ g ∂ r ) 2 + ( 1 r ∂ g ∂ θ ) 2 + ( 1 r sin θ ∂ g ∂ φ ) 2
= ( ∂ f ∂ x ) 2 ( sin 2 θ cos 2 φ + cos 2 θ sin 2 φ + sin 2 φ ) + ( ∂ f ∂ y ) 2 ( sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 θ sin 2 φ + cos 2 φ ) + ( ∂ f ∂ z ) 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) + 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ( sin 2 θ sin φ cos φ + cos 2 θ sin φ cos φ - sin φ cos φ ) + 2 ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z ( sin θ cos θ sin φ - sin θ cos θ sin ϕ ) + 2 ∂ f ∂ z ∂ f ∂ x ( sin θ cos θ cos φ - sin θ cos θ cos φ )
= ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + ( ∂ f ∂ z ) 2

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

ParametricPlot3D[
    Evaluate[Table[{r Sin[θ]Cos[𝝋], r Sin[θ] Sin[𝝋], r Cos[θ]}, {r, 1, 5}]],
    {𝝋, 0, Pi}, {θ, 0, 3/2Pi},
    AxesLabel -> {x, y, z}
]
Output