数学のブログ

多変数の関数 高次導関数、テイラーの定理 微分作用子、平方、和、ラプラス演算子(ラプラシアン)、調和関数、たいす関数、逆正接関数、指数関数、累乗、累乗根

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次導関数、テイラーの定理)、問題2の解答を求めてみる。

a

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x x 2 + y 2 - x · 2 x ( x 2 + y 2 ) 2
= ∂ dx - x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2
= - 2 x ( x 2 + y 2 ) 2 - ( - x 2 + y 2 ) 2 ( x 2 + y 2 ) 2 x ( x 2 + y 2 ) 4
= - 2 x 3 - 2 x y 2 + 4 x 3 - 4 x y 2 ( x 2 + y 2 ) 3
= 2 x 3 - 6 x y 2 ( x 2 + y 2 ) 3
= 2 ( x 3 - 3 x y 2 ) ( x 2 + y 2 ) 3
∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y - 2 x y ( x 2 + y 2 ) 2
= - 2 · x ( x 2 + y 2 ) 2 - x y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 y ( x 2 + y 2 ) 4
= - 2 x 3 + x y 2 - 4 x y 2 ( x 2 + y 2 ) 3
= - 2 ( x 3 - 3 x y 2 ) ( x 2 + y 2 ) 3

よって、

Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

なので、問題の関数fは調和関数である。

b

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x x x 2 + y 2
= x 2 + y 2 - x · 2 x ( x 2 + y 2 ) 2
= - x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2
∂ 2 f ∂ y 2 = x 2 - y 2 x 2 + y 2
Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

c

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x 1 1 + y 2 x 2 ( - y x 2 )
= ∂ ∂ x ( - y x 2 + y 2 )
= 2 x y ( x 2 + y 2 ) 2
∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ x 1 1 + y 2 x 2 · 1 x
= ∂ ∂ x x x 2 + y 2 .
= - 2 x y x 2 + y 2
Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

d

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ f ∂ x ( - x ( x 2 + y 2 + z 2 ) - 3 2 )
= - ( x 2 + y 2 + z 2 ) - 3 2 + 3 x 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) - 5 2
Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = - 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) - 3 2 + 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) - 3 2 = 0

e

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x 3 e 3 x + 4 y cos 5 z = 9 e 3 x + 4 y cos 5 z
∂ 2 f ∂ y 2 = 16 e 3 x + 4 y cos 5 z
∂ 2 f ∂ z 2 = - 5 e 3 x + 4 y sin 5 z = - 25 e 3 x + 4 y cos 5 z

よって、

Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0

コード(Wolfram Language, Jupyter)

fs = {x/(x^2+y^2), Log[Sqrt[x^2+y^2]], ArcTan[y/x], 1/Sqrt[x^2+y^2+z^2], Exp[3x+4y]Cos[5z]}
Output
D[fs, {x, 2}] + D[fs, {y, 2}] + D[fs, {z, 2}]
Output
% // Simplify

{0, 0, 0, 0, 0}
Plot3D[fs[[1]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[fs[[2]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[fs[[3]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output