多変数の関数高次導関数、テイラーの定理同時関数、等式の証明

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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次導関数、テイラーの定理)、問題9の解答を求めてみる。

\frac{d}{dt} f (t x) = \frac{d}{dt} (t^{m} f (x))

g r a d f (t x) \cdot x = m t^{m - 1} f (x)

また、

(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}) f (x) = m f (x)

\frac{d^{r}}{{dt}^{r}} f (t x) = \frac{d^{r}}{d t^{r}} t^{m} f (x)

\frac{d}{dt} ({(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}})}^{r - 1} f (t x)) = \frac{d}{dt} ((\prod_{k = 0}^{r - 2} (m - k)) t^{m - r + 1} f (x))

{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}})}^{r} f (t x) = (\prod_{k = 0}^{r - 1} (m - k)) t^{m - r} f (x)

よって帰納法により、

{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}})}^{r} f (t x) = (\prod_{k = 0}^{r - 1} (m - k)) t^{m - r} f (x)

が成り立つ。

tに1を代入すれば、

{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}})}^{r} f (x) = (\prod_{k = 0}^{r - 1} (m - k)) f (x)

が成り立つ。

（証明終）