多変数の関数 高次導関数、テイラーの定理 合成関数、三角関数、正弦と余弦、内積、等式 解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) 楽天ブックス Yahoo!ショッピング au PAY マーケット 学習環境 Surface Windows 10 Pro (OS) Nebo(Windows アプリ) iPad MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iPadOS)) ハンズ・オン・スタートMathematica® -Wolfram言語™によるプログラミング(参考書籍) Pythonからはじめる数学入門(参考書籍) 解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次導関数、テイラーの定理)、問題4の解答を求めてみる。 ∂ g ∂ r = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) · ( cos θ , sin θ ) = ∂ f ∂ x cos θ + ∂ f ∂ y sin θ ∂ 2 g ∂ r 2 = ∂ ∂ x ( ∂ f d x , ∂ f ∂ y ) · ( cos θ , sin θ ) cos θ + ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) · ( cos θ , sin θ ) sin θ = ∂ 2 f ∂ x 2 cos 2 θ + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y cos θ sin θ + ∂ 2 f ∂ y 2 sin 2 θ ∂ 2 g ∂ θ 2 = ∂ ∂ θ ( ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) · ( - r sin θ , r cos θ ) ) = ∂ ∂ θ ( - ∂ f ∂ x r sin θ + ∂ f ∂ y r cos θ ) = - ∂ ∂ x ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) · ( - r sin θ , r cos θ ) r sin θ - ∂ f ∂ x r cos θ + ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) · ( - r sin θ , r cos θ ) r cos θ - ∂ f ∂ y r sin θ = ∂ 2 f ∂ x 2 r 2 sin 2 θ - ∂ 2 f ∂ x ∂ y r 2 cos θ sin θ - ∂ f ∂ x r cos θ - ∂ 2 f ∂ x ∂ y r 2 sin θ cos θ + ∂ 2 f ∂ y 2 r 2 cos 2 θ - ∂ f ∂ y r sin θ = ∂ 2 f ∂ x 2 r 2 sin 2 θ - 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y r 2 sin θ cos θ + ∂ 2 f ∂ y 2 r 2 cos 2 θ - ∂ f ∂ x r cos θ - ∂ f ∂ y r sin θ よって、 ∂ 2 g ∂ r 2 + 1 r ∂ g ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 g ∂ θ 2 = ( cos 2 θ + sin 2 θ ) ∂ 2 f ∂ x 2 + ( sin 2 θ + cos 2 θ ) ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2
