数学のブログ

多変数の関数 高次導関数、テイラーの定理 三角関数、正弦と余弦、倍角、偏微分、等式

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次導関数、テイラーの定理)、問題5の解答を求めてみる。

∂ g ∂ r = n r n - 1 ( a ( cos n θ ) + b sin n θ )
∂ 2 g ∂ r 2 = n ( n - 1 ) r n - 2 ( a ( cos n θ ) + b sin n θ )
∂ g ∂ θ = r n ( - a n sin n θ + b n cos n θ )
∂ 2 r ∂ θ 2 = r n ( - a n 2 cos n θ - b n 2 sin n θ )
∂ 2 g ∂ r 2 + 1 r ∂ g ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2
= ( ( n 2 - n ) r n - 2 + n r n - 2 - n 2 r n - 2 ) a ( cos n θ ) + ( ( n 2 - n ) r n - 2 + n r n - 2 - n 2 r n - 2 ) b sin n θ
= 0

コード(Wolfram Language, Jupyter)

g[r_, θ_, n_, a_, b_] := r^n(a Cos[n θ] + b Sin[n θ])

D[g[r, θ, n, a, b], {r, 2}] + 1/r D[g[r, θ, n, a, b], r] + 1/r^2 D[g[r, θ, n, a, b], {θ, 2}]
Output
Simplify[%]

0
Table[
    Plot3D[g[r, θ, n, 1, 2], {r, -5, 5}, {θ, -5, 5}],
    {n, 1, 10}
]
Output