多変数の関数高次導関数、テイラーの定理ユークリッド距離を引数とする関数

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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次導関数、テイラーの定理)、問題8の解答を求めてみる。

\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\frac{dg}{d r} \cdot \frac{x_{i}}{r})

= \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\frac{d^{2} g}{d r^{2}} r - \frac{dg}{d r}}{r^{2}} \cdot \frac{x_{i}}{r} \cdot x_{i} + \frac{1}{r} \frac{dg}{d r})

= \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\frac{d^{2} g}{d r^{2}} r - \frac{dg}{d r}}{r^{2}} \cdot \frac{x_{i}^{2}}{r} + \frac{1}{r} \frac{dg}{d r})

= \frac{1}{r^{2}} (\frac{d^{2} g}{d r^{2}} - \frac{1}{r} \frac{dg}{d r}) r^{2} + \frac{n}{r} \frac{d g}{d r}

= \frac{d^{2} g}{d r^{2}} - \frac{1}{r} \frac{dg}{d r} + \frac{n}{r} \frac{dg}{d r}

= \frac{d^{2} g}{d r^{2}} + \frac{n - 1}{r} \frac{dg}{d r}