多変数の関数微分可能性と勾配ベクトル方向微分係数、向き、単位ベクトル、内積、最大増加の向き

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題11の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{(1, 1)}{| (1, 1) |} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1) \\ g r a d f (x, y) = (2 x y, x^{2}) \\ (- 4, 4) \cdot \frac{(1, 1)}{| (1, 1) |} = 0 \end{array}

\begin{array}{l} g r a d f (x, y, z) = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} (x, y, z) \\ \frac{1}{6} (- 1, 1, 2) \cdot \frac{(1, 2, 2)}{| (1, 2, 2) |} = \frac{1}{18} (- 1 + 2 + 4) = \frac{5}{18} \end{array}

g r a d f (x, y, z) = (2 (x + y) + 2 (z + x), 2 (y + z) + 2 (x + y), 2 (z + x) + 2 (y + z))

= 2 (2 x + y + z, x + 2 y + z, x + y + 2 z)

| 2 (4 + 2 - 1, 2 + 4 - 1, 2 + 2 - 2) | = | 2 (5, 5, 2) | = 2 \sqrt{54} = 6 \sqrt{6}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Show[
    Plot3D[x^2 y, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    ParametricPlot3D[{2, -1, -4} + {-4, 4, -1}t, {t, 0, 1}]
]