数学のブログ

多変数の関数 微分可能性と勾配ベクトル 微分可能な関数、極座標、三角関数、正弦と余弦、等式

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題14の解答を求めてみる。

x = r cos θ y = r sin θ
∂ g ∂ r = g r a d f ( x , y ) · ( cos θ , sin θ ) = ∂ f ∂ x cos θ + ∂ f ∂ y sin θ
∂ g ∂ θ = g r a d f ( x , y ) · ( - r sin θ , r cos θ ) = ∂ f ∂ x ( - r sin θ ) + ∂ f ∂ y ( r cos θ )
( ∂ g ∂ r ) 2 + 1 r 2 ( ∂ g ∂ θ ) 2
= ( ∂ f ∂ x ) 2 cos 2 θ + 2 ∂ f ∂ x · ∂ f ∂ y sin θ cos θ + ( ∂ f ∂ y ) 2 sin 2 θ + ( ∂ f ∂ x ) 2 sin θ 2 - 2 ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y sin θ cos θ + ( ∂ f ∂ y ) 2 cos 2 θ
= ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2

コード(Wolfram Language, Jupyter)

g[r, θ] := f[r Cos[θ], r Sin[θ]]

a = D[g[r, θ], r]
Output
b = D[g[r, θ], θ]
Output
a^2
Output
1/r^2 b^2
Output
% // Simplify
Output
a^2 + 1/r^2 b^2
Output
Simplify[%]
Output