変数と関数関数の極限累乗、指数関数、方向、符号

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微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第2章(変数と関数)、2-2(関数の極限)、問題2の解答を求めてみる。

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = 0

\lim_{x \to \infty} x (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x (x^{2} + 1 - x^{2})}{\sqrt{x^{2} + 1} + x}

= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} + x}

= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + 1}

= \frac{1}{2}

\lim_{x \to + 0} e^{- \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0

\lim_{x \to - 0} e^{- \frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} e^{\infty} = \infty

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[Sqrt[x+1]-Sqrt[x], x -> Infinity]

Limit[x(Sqrt[x^2+1]-x), x -> Infinity]

Limit[Exp[-1/x], x -> 0, Direction -> -1]

Limit[Exp[-1/x], x -> 0, Direction -> 1]

Plot[Sqrt[x+1] - Sqrt[x], {x, 0, 10}]

Plot[x(Sqrt[x^2+1]-x), {x, -5, 5}]

Plot[Exp[-1/x], {x, -10, 10}]