変数と関数関数の極限累乗、三角関数、余弦、テイラー展開

学習環境

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第2章(変数と関数)、2-2(関数の極限)、問題1の解答を求めてみる。

\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{3}{2}

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}}{x^{2}}

= \lim_{x \to 0} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{(2 n)!} x^{2 n - 2}

= \lim_{x \to 0} (\frac{1}{2} + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{(2 n)!} x^{2 n - 2})

= \frac{1}{2}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[(x^2+x-2)/(x^2-1), x -> 1]

Limit[(1-Cos[x])/x^2, x -> 0]

Plot[{3/2, (x^2+x-2)/(x^2-1)}, {x, -5, 5}, PlotLegends -> "Expressions"]

Plot[{1/2, (1-Cos[x])/x^2}, {x, -5, 5}, PlotLegends -> "Expressions"]