数学のブログ

変数と関数 関数の極限 不定形、累乗、三角関数(正弦)、指数関数、対数関数、増加、減少の速さ

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (和達 三樹(著)、十河 清(著)、岩波書店)の第2章(変数と関数)、2-2(関数の極限)、問題3の解答を求めてみる。

1

lim x → ∞ x sin a x = lim x → 0 a x sin x
= a
| x sin a x | ≤ | x · 1 | = | x |

また、

lim x → 0 | x | = 0

よって、

lim x → 0 x sin a x = 0

2

x 1 x = e 1 x log x
lim x → ∞ log x x = 0

よって、

lim x → ∞ x 1 x = e 0 = 1
lim x → + 0 log x x = - ∞

よって、

lim x → + 0 x 1 x = 0

3

lim x → ∞ 1 e x + 1 = 0
lim x → 0 1 e x + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[x Sin[a / x], x -> Infinity]

a
Limit[x Sin[a / x], x -> 0]
Output
Simplify[%, Element[a, Reals]]

0
Plot[{x Sin[2 / x], x Sin[-2 / x]}, {x, -5, 5}, PlotLegends -> "Expressions"]
Output
Plot[{x Sin[2 / x], x Sin[-2 / x]}, {x, -1, 1}, PlotLegends -> "Expressions"]
Output
Plot[{x Sin[2 / x], x Sin[-2 / x]}, {x, 100, 1000}, PlotLegends -> "Expressions"]
Output
Limit[x^(1/x), x -> Infinity]

1
Limit[x^(1/x), x -> 0, Direction -> -1]

0
Plot[x^(1/x), {x, 0.1, 5}]
Output
Plot[x^(1/x), {x, 1, 10^6}]
Output
Limit[1/(Exp[x] + 1), x -> Infinity]

0
Limit[1/(Exp[x] + 1), x -> 0]
Output
Plot[1/(Exp[x] + 1), {x, -5, 5}]
Output