数学のブログ

変数と関数 関数の極限 不定形、三角関数、制限と余弦、倍角、無限級数

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (和達 三樹(著)、十河 清(著)、岩波書店)の第2章(変数と関数)、2-2(関数の極限)、問題4の解答を求めてみる。

1

sin θ 2 ∑ k = 0 n cos k θ = ∑ k = 0 n sin θ 2 cos k θ
= 1 2 ∑ k = 0 n ( sin ( θ 2 + k θ ) + sin ( θ 2 - k θ ) )
= 1 2 ∑ k = 0 n ( sin 2 k + 1 2 θ - sin 2 k - 1 2 θ )
= 1 2 ( sin 2 n + 1 2 θ - sin ( - 1 2 θ ) )
= 1 2 ( sin 2 n + 1 2 θ + sin 1 2 θ )
= 1 2 ( sin ( n + 1 2 + n 2 ) θ + sin ( n + 1 2 - n 2 ) )
= 1 2 · 2 sin n + 1 2 θ cos n 2 θ
= sin n + 1 2 θ cos n 2 θ

よって、

∑ k = 0 n cos k θ = sin n + 1 2 θ cos n 2 θ sin θ 2

2

lim n → ∞ 1 n ∑ k = 0 n cos ( k n x ) = lim n → ∞ sin ( n + 1 2 · x n ) cos ( n 2 · x n ) n sin ( x n 2 )
= lim n → ∞ sin ( 1 + 1 n 2 x ) cos ( x 2 ) x 2 ( sin x 2 n x 2 n )
= sin x 2 cos x 2 x 2
= 2 sin x 2 cos x 2 x
= sin ( x 2 + x 2 ) x
= sin x x

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Sum[Cos[k theta], {k, 0, n}] == Sin[(n + 1) / 2 theta] Cos[n/2 theta] / Sin[theta / 2]
Output
Limit[1 / n Sum[Cos[k / n x], {k, 0, n}], n -> Infinity]
Output
Plot[
    Evaluate[Flatten[{
        Sin[x] / x,
        Table[1 / n Sum[Cos[k / n x], {k, 0, n}], {n, 1, 5}]
    }]],
    {x, -10, 10},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output