変数と関数いろいろな関数双曲線関数、双曲線正弦関数、双曲線予言関数、双曲線正接関数、指数関数、加法定理

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微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第2章(変数と関数)、2-1(いろいろな関数)、問題4の解答を求めてみる。

\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y

= \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{y} + e^{- y}}{2} + \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}

= \frac{1}{4} (e^{x + y} + e^{x - y} - e^{- x + y} - e^{- x - y} + e^{x + y} - e^{x - y} + e^{- x + y} - e^{- x - y})

= \frac{1}{4} (2 e^{x + y} - 2 e^{- (x + y)})

= \frac{e^{x + y} - e^{- (x + y)}}{2}

= \sinh (x + y)

\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y

= \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{y} + e^{- y}}{2} + \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}

= \frac{1}{4} (e^{x + y} + e^{x - y} + e^{- x + y} + e^{- x - y} + e^{x + y} - e^{x - y} - e^{- x + y} + e^{- x - y})

= \frac{1}{4} (2 e^{x + y} + 2 e^{- x - y})

= \frac{e^{x + y} + e^{- (x + y)}}{2}

= \cosh (x + y)

\frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}

= (\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} + \frac{e^{y} - e^{- y}}{e^{y} + e^{- y}}) \cdot \frac{1}{1 + \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} \cdot \frac{e^{y} - e^{- y}}{e^{y} + e^{- y}}}

\begin{array}{l} = \frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{y} + e^{- y}) + (e^{x} + e^{- x}) (e^{y} - e^{- y})}{(e^{x} + e^{- x}) (e^{y} + e^{- y})} \times \\ \frac{(e^{x} + e^{- y}) (e^{y} + e^{- y})}{(e^{x} + e^{- x}) (e^{y} + e^{- y}) + (e^{x} - e^{- x}) (e^{y} - e^{- y})} \end{array}

= \frac{e^{x + y} + e^{x - y} - e^{- x + y} - e^{- x - y} + e^{x + y} - e^{x - y} + e^{- x + y} - e^{- x - y}}{e^{x + y} + e^{x - y} + e^{- x + y} + e^{- x - y} + e^{x + y} - e^{x - y} - e^{- x + y} + e^{- x - y}}

= \frac{2 e^{x + y} - 2 e^{- x - y}}{2 e^{x + y} + 2 e^{- (x + y)}}

= \frac{e^{x + y} - e^{- (x + y)}}{e^{x + y} + e^{- (x + y)}}

= \tan (x + y)

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Plot[{Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x]}, {x, -5, 5},
     PlotRange -> {-5, 5},
     PlotLegends -> "Expressions"]

Plot3D[Sinh[x + y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, PlotRange -> {-5, 5}, BoxRatios -> {1, 1, 1}]

Plot3D[Cosh[x + y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, PlotRange -> {-5, 5}, BoxRatios -> {1, 1, 1}]

Plot3D[Tanh[x + y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, PlotRange -> {-5, 5}, BoxRatios -> {1, 1, 1}]