数学のブログ

合成微分律と勾配ベクトル 方向微分係数 3次元空間、最大増加の向きと方向微分係数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題7の解答を求めてみる。

g r a d f ( x , y ) = ( 2 x + y , x + 2 y ) g r a d f ( - 1 , 1 ) = ( - 1 , 1 )

よって 点（-1，1） においてこの向きにfは最も早く増加し、この向きにおける微分係数は

∥ ( - 1 , 1 ) ∥ = 2

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[x_, y_] := x^2 + x y + y^2

Grad[f[x, y], {x, y}]
Output
% /. {x -> -1, y->1}

{-1, 1}
Show[
    Plot3D[f[x, y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, PlotRange -> {-2, 2}, BoxRatios -> {1, 1, 1}],
    Graphics3D[{
        Arrow[{{-1, 1, f[-1, 1]}, {-1, 1, f[-1, 1]} + {-1, 1, -1}}]
    }]
]
Output