合成微分律と勾配ベクトル方向微分係数点において関数が最も急速に増加する向き

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題4の解答を求めてみる。

g r a d f (X) = g r a d \frac{x}{{∥ X ∥}^{\frac{3}{2}}} = g r a d \frac{x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{4}}}

\begin{array}{l} = \frac{1}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} \\ ({(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{4}} - x \frac{3}{4} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{4}} 2 x, \\ - x \frac{3}{4} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{4}} \cdot 2 y \\ - x \frac{3}{4} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{4}} \cdot 2 z) \end{array}

よって問題の✗の関数が与えられた点において最も急速に増加する向きは、

g r a d f (1, - 1, 2)

= \frac{1}{6^{\frac{3}{2}}} (6^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2} \cdot 6^{- \frac{1}{4}}, \frac{3}{2} \cdot 6^{- \frac{1}{4}}, - 3 \cdot 6^{- \frac{1}{4}})

= \frac{1}{2 \cdot 6^{\frac{7}{4}}} (2 \cdot 6 - 3, 3, - 6)

= \frac{3}{2 \cdot 6^{\frac{1}{4}}} (3, 1, - 2)

g r a d f (X) = g r a d {∥ X ∥}^{5} = g r a d {(x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2})}^{\frac{5}{2}}

= \frac{5}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 x, 2 y, 2 z, 2 w)

= 5 {(x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2})}^{\frac{3}{2}} (x, y, z, w)

g r a d f (1, 2, - 1, 1) = 5 \cdot 7^{\frac{3}{2}} (1, 2, - 1, 1)

コード(Wolfram Language, Jupyter)

g[x_, y_, z_] := Evaluate[Grad[x / Norm[{x, y, z}]^(3/2), {x, y, z}]]

g[x, y, z]

g[1, -1, 2]

Simplify[%]

g[x_, y_, z_, w_] := Evaluate[Grad[Norm[{x, y, z, w}]^2, {x, y, z, w}]]

g[1, 2, -1, 1]

Simplify[%]