合成微分律と勾配ベクトル方向微分係数温度分布、最大増加の向き、最大減少の向き

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題3の解答を求めてみる。

g r a d f (x, y) = (- 6 \sin x \cos y - 6 \sin 2 x, - 6 \cos x \sin y - 12 \sin 3 y)

= - 6 (\sin x \cos y + \sin 2 x, \cos x \sin y + 2 \sin 3 y)

温度の最大増加の向き。

- 6 (\sin \frac{π}{3} \cos \frac{π}{3} + \sin \frac{2}{3} π, \cos \frac{π}{3} \sin \frac{π}{3} + 2 \sin π)

= - 6 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})

= - 6 (\frac{3 \sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})

= - \frac{3 \sqrt{3}}{2} (3, 1)

最大減少の向きは

\frac{3 \sqrt{3}}{2} (3, 1)

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[x_, y_] := 10 + 6 Cos[x] Cos[y] + 3 Cos[2x] + 4 Cos[3y]

gradf[x_, y_] := Evaluate[Grad[f[x, y], {x, y}]]

gradf[Pi / 3, Pi / 3]

-%

Plot3D[f[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]