数学のブログ

合成微分律と勾配ベクトル 方向微分係数 最大増加の向きへの方向微分係数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題5の解答を求めてみる。

a

g r a d f ( x , y ) = ( 4 y , 4 x + 6 y ) = 2 ( 2 y , 2 x + 3 y )
g r a d f ( 1 , 1 ) · ( 2 , - 1 ) ∥ ( 2 , - 1 ) ∥ = 2 ( 2 , 5 ) · ( 2 , - 1 ) 4 + 1 = - 2 5

b

∥ g r a d f ( 1 , 1 ) ∥ = ∥ 2 ( 2 , 5 ) ∥ = 2 4 + 25 = 2 29

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[{x_, y}] := 4x y + 3 y^2;
g[] := Evaluate[Grad[f[{x, y}], {x, y}];]
p = {1, 1};
d = {2, -1};

gradf[p] . d / Norm[d]
Output
gradf[p] // Norm
Output
Show[
    Plot3D[f[{x, y}], {x, -10, 10}, {y, -10, 10},
           PlotRange -> {-10, 10}, BoxRatios -> {1, 1, 1}],
    ParametricPlot3D[
        Flatten[{p, f[p]}] + t {2, -1, -1}, {t, 0, -2/Sqrt[5]}
    ],
    ParametricPlot3D[
        Flatten[{p, f[p]}] + t {4, 10, -1}, {t, 0, 2 Sqrt[29]}
    ]
]
Output


{1, 1, 7}