数学のブログ

合成微分律と勾配ベクトル 方向微分係数 最大増加の向きと方向微分係数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題6の解答を求めてみる。

g r a d f ( x , y , z )
= ( 2 ( x + y ) + 2 ( z + x ) , 2 ( y + z ) + 2 ( x + y ) , 2 ( z + x ) + 2 ( y + z ) )
= 2 ( 2 x + y + z , 2 y + z + x , 2 z + x + y )

よって、 点

( 2 , - 1 , 2 )

における最大増加の向きは、

2 ( 5 , 2 , 5 )

この向きにおける方向 の微分係数は、

∥ 2 ( 5 , 2 , 5 ) ∥ = 2 54 = 6 6

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[{x_, y_, z_}] := (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2

p={2, -1, 2};

gradf[{x_, y_, z_}] := Evaluate[Grad[f[{x, y, z}], {x, y, z}]]

gradf[p]

{10, 4, 10}
% . % / Norm[%]
Output
Norm[gradf[p]]
Output