合成微分律と勾配ベクトル方向微分係数対数関数、向き、単位ベクトル、内積、最大方向微分係数

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題2の解答を求めてみる。

g r a d f (x, y) = (\frac{x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{y}{x^{2} + y^{2}})

g r a d f (1, 1) = \frac{1}{2} (1, 1)

\frac{1}{2} (1, 1) \cdot \frac{(2, 1)}{| (2, 1) |} = \frac{1}{2 \sqrt{5}} (2 + 1) = \frac{3}{2 \sqrt{5}}

g r a d f (x, y, z) = (y + z, z + x, x + y)

g r a d f (- 1, 1, 7) = (8, 6, 0) = 2 (4, 3, 0)

2 (4, 3, 0) \cdot \frac{(3, 4, - 12)}{| (3, 4, - 12) |} = \frac{2 \cdot 24}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{48}{13}

g r a d f (x, y) = (8 x ., 18 y) = 2 (4 x, 9 y)

g r a d f (2, 1) = 2 (8, 9)

∥ 2 (8, 9) ∥ = 2 \sqrt{64 + 81} = 4 \sqrt{145}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[x_, y_] := Log[(x^2+y^2)^(1/2)]

Grad[f[x, y], {x, y}]

1/(1^2+1^2) {1, 1} . {2, 1} / Norm[{2, 1}]

Plot3D[f[x, y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, PlotRange -> {-5, 5}]

Plot3D[4x^2 + 9y^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]