合成微分律と勾配ベクトル方向微分係数定義域、開集合、微分可能な関数、最大値、零

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題9の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} E_{1} = (1, 0, \dots, 0) \\ E_{2} = (0, 1, 0, \dots, 0) \\ ⋮ \\ E_{n} = (0, \dots, 0, 1) \end{array}

とおく。

このとき、

\begin{array}{l} g_{i} (t) = f (P + t E_{i}) \\ (i = 1, \dots, n) \end{array}

とおくと、

\frac{d}{dt} g_{i} (t) = g r a d f (P + t E_{i}) \cdot E_{i}

また、 tが0のとき最大値をとるので、

\frac{d}{dt} g_{i} (0) = 0

よって、

\begin{array}{l} g r a d f (P) \cdot E_{i} = 0 \\ i = (1, \dots, n) \end{array}

ゆえに、

g r a d f (P) = O

（証明終）