合成微分律と勾配ベクトル接平面 2曲面、交わりの角、余弦、法ベクトル、内積

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、2(接平面)の練習問題12の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} f_{1} (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} \\ f_{2} (x, y, z) = x - z^{2} - y^{2} \end{array}

とおく。

\begin{array}{l} g r a d f_{1} (X) = 2 (x, y, z) \\ g r a d f_{2} (X) = (1, - 2 y, - 2 z) \end{array}

よって点

(- 1, 1, - 1)

における法ベクトルはそれぞれ

\begin{array}{l} (- 1, 1, - 1) \\ (1, - 2, 2) \end{array}

よって求める問題の2つの曲面の上記の点における交わりの角の余弦は、

\cos θ = \frac{(- 1, 1, - 1) \cdot (1, - 2, 2)}{| (- 1, 1, - 1) | | (1, - 2, 2) |} = \frac{- 1 - 2 - 2}{3 \sqrt{3}} = - \frac{5}{3 \sqrt{3}}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

ContourPlot3D[
    {x^2+y^2+z^2 == 3,
     x-z^2-y^2 == -3},
    {x, -2, 2},
    {y, -2, 2},
    {z, -2, 2}
]