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合成微分律と勾配ベクトル 接平面 点、曲面、垂直、接平面

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、2(接平面)の練習問題11の解答を求めてみる。

a

f ( x , y , z ) = x 3 y + x z - 1

とおく。

g r a d f ( x , y , z ) = ( 3 x 2 y + z , x 3 , x ) g r a d f ( 1 , 2 , - 1 ) = ( 5 , 1 , 1 )

よって、点

( 1 , 2 , - 1 )

において、曲面

x 3 y + y z = 1

に垂直な単位ベクトルは、

( 5 , 1 , 1 ) | ( 5 , 1 , 1 ) | = 1 27 ( 5 , 1 , 1 ) = 1 3 3 ( 5 , 1 , 1 )

b

5 x + y + z = 5 + 2 - 1 5 x + y + z = 6

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Show[
    ContourPlot3D[
        {x^3y+x z == 1,
         5x+y+z == 6},
        {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5}
    ],
    ParametricPlot3D[{
        {1, 2, -1} + t {5, 1, 1},
        {1, 2, -1} + t {5, 1, 1}/(3Sqrt[3])
    },
    {t, 0, 1}]
]
Output