合成微分律と勾配ベクトルさらに偏微分の計算について 2変数、和、1階偏微分、零

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、5(さらに偏微分の計算について)の練習問題5の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \\ = D_{1} f (x - y, y - x) - D_{2} f (x - y, y - x) \\ - D_{1} f (x - y, y - x) + D_{2} f (x - y, y - x) \\ = 0 \end{array}