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合成微分律と勾配ベクトル ’原点からの距離’にのみ従属する関数 2つの単位ベクトル、内積、零、三角関数、正弦と余弦、球面上の曲線、半径、ノルム

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(’原点からの距離’にのみ従属する関数)の練習問題3の解答を求めてみる。

∥ F ( t ) ∥ 2 = F ( t ) · F ( t ) = ( ( cos t ) A + ( sin t ) B ) · ( ( cos t ) A + ( sin t ) B )
= ( cos 2 t ) A · A + ( 2 sin t cos t ) A · B + ( sin 2 t ) B · B
= cos 2 t + sin 2 t
= 1

よって、

F ( t )

は原点を中心とする半径1の球面上にある。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {1, 0, 0}

{1, 0, 0}
b = {0, 1, 0}

{0, 1, 0}
a . b

0
Norm[a]

1
Norm[b]

1
ParametricPlot3D[Cos[t] a + Sin[t] b, {t, -5, 5}]
Output
b = {0, 1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2]}
Output
Norm[b]

1
ParametricPlot3D[Cos[t] a + Sin[t] b, {t, -5, 5}]
Output