数学のブログ

合成微分律と勾配ベクトル ’原点からの距離’にのみ従属する関数 逆数、累乗、指数関数、対数関数、三角関数、余弦

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(’原点からの距離’にのみ従属する関数)の練習問題2の解答を求めてみる。

a

g r a d f ( X ) = - 1 r 2 · X r = - X r 3

b

g r a d f ( X ) = 2 r · X r = 2 X

c

g r a d f ( X ) = - 3 r 2 r 6 · X r = - 3 X r 5

d

g r a d f ( X ) = - 2 r e - r 2 · X r = - 2 e - r 2

e

g r a d f ( X ) = 1 1 r · ( - 1 r 2 ) · X r = - X r 2

f

g r a d f ( X ) = - 4 m r m - 1 r 2 m · X r = - 4 m X r m + 2

g

g r a d f ( X ) = - ( sin r ) · X r

コード(Wolfram Language, Jupyter)

v = {x, y}

{x, y}
r = Norm[v]
Output
Grad[1/r, v]
Output
% == -v / r^3
Output
Simplify[%]
Output
Plot3D[1/r, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Grad[{r^2, 1/r^3, Exp[-r^2], Log[1/r], 4/r^m, Cos[r]}, {x, y}]
Output
Plot3D[r^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[1/r^3, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[Exp[-r^2], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Plot3D[Log[1/r], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output
Table[
    Plot3D[4/r^m, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}],
    {m, -5, 5}
] // Column
Output
Plot3D[Cos[r], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Output