合成微分律と勾配ベクトル ’原点からの距離’にのみ従属する関数距離の偏微分

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(’原点からの距離’にのみ従属する関数)の練習問題1の解答を求めてみる。

{(\frac{\partial f}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial y})}^{2} + {(\frac{\partial f}{\partial z})}^{2} = {(\frac{dg}{d x})}^{2} + {(\frac{dg}{dy})}^{2} + {(\frac{dg}{dz})}^{2}

= {(\frac{dg}{d r} \cdot \frac{x}{r})}^{2} + {(\frac{d g}{d r} \cdot \frac{y}{r})}^{2} + {(\frac{dg}{d r} \cdot \frac{z}{r})}^{2}

= {(\frac{dg}{d r})}^{2} \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r^{2}}

= {(\frac{dg}{d r})}^{2}