合成微分律と勾配ベクトル ’原点からの距離’にのみ従属する関数調和的、調和関数、偏導関数、2階微分、和、零、対数関数、逆数

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(’原点からの距離’にのみ従属する関数)の練習問題11の解答を求めてみる。

\frac{d}{dx} \log \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{r} \cdot \frac{x}{r} = \frac{x}{r^{2}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

\frac{d^{2}}{{dx}^{2}} \log r = \frac{x^{2} + y^{2} - x \cdot 2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = \frac{y^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

\frac{d^{2}}{d y^{2}} \log r = \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

よって、

\frac{d^{2}}{d x^{2}} \log r + \frac{d^{2}}{d y^{2}} \log r = 0

\frac{d}{dx} \frac{1}{r} = - \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{x}{r} = - \frac{x}{r^{3}} = - \frac{x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}

\frac{d^{2}}{{dx}^{2}} \frac{1}{r} = - \frac{1}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{3}} ({(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x)

= \frac{3 x^{2} r - r^{3}}{r^{6}}

= \frac{3 x^{2} r - r^{2}}{r^{5}}

\frac{d^{2}}{{dx}^{2}} \frac{1}{r} + \frac{d^{2}}{d y^{2}} \frac{1}{r} + \frac{dz}{d z^{2}} \frac{1}{r} = \frac{3 r \cdot r - 3 r^{2}}{r^{5}} = 0

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Plot3D[Log[Sqrt[x^2+y^2]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]