数学のブログ

合成微分律と勾配ベクトル ’原点からの距離’にのみ従属する関数 原点を中心とする球面上の2点、向き、逆、パラメーター表示

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(’原点からの距離’にのみ従属する関数)の練習問題4の解答を求めてみる。

P、 Q は 原点を中心とする半径1の球面上の2点なので、

∥ P ∥ = ∥ Q ∥ = 1
L ( t ) = P + t ( Q - P ) = O

のとき、

( 1 - t ) P + t Q = O
( 1 - t ) P = - t Q
∥ ( 1 - t ) P ∥ = ∥ t Q ∥
| 1 - t | ∥ P ∥ = | t | ∥ Q ∥
| 1 - t | = | t |
( 1 - t ) 2 = t 2
- 2 t + 1 = 0
t = 1 2

また、

( 1 - 1 2 ) P = - 1 2 Q
P = - Q

（証明終）