合成微分律と勾配ベクトル ’原点からの距離’にのみ従属する関数偏導関数、２階微分、和

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(’原点からの距離’にのみ従属する関数)の練習問題13の解答を求めてみる。

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{dg}{d r} \frac{x}{r}

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{d^{2} g}{d r^{2}} \frac{x}{r} \cdot \frac{x}{r} + \frac{dg}{d r} (- \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{x}{r}) \cdot x + \frac{d g}{d r} \cdot \frac{1}{r}

= \frac{x^{2}}{r^{2}} \frac{d^{2} g}{d r^{2}} + (\frac{1}{r} - \frac{x^{2}}{r^{3}}) \frac{dg}{d r}

よって、

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r^{2}} \frac{d^{2} g}{d r^{2}} + (\frac{3}{r} - \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r^{3}}) \frac{dg}{d r}

= \frac{d^{2} g}{d r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{dg}{d r}