合成微分律と勾配ベクトル ’原点からの距離’にのみ従属する関数偏導関数、２階微分、和、指数関数

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(’原点からの距離’にのみ従属する関数)の練習問題12の解答を求めてみる。

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{dg}{d r} \cdot \frac{x}{r}

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\frac{d^{2} g}{d r^{2}} r - \frac{dg}{d r}}{r^{2}} \cdot \frac{x}{r} x + \frac{dg}{d r} \cdot \frac{1}{r}

\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{\frac{d^{2} g}{d r^{2}} r - \frac{dg}{d r}}{r^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{r} + \frac{1}{r} \frac{dg}{d r}

\frac{\partial^{2} f}{d x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{d^{2} g}{d r^{2}} - r \frac{dg}{d r} + \frac{2}{r} \frac{dg}{d r} = \frac{d^{2} g}{d r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{dg}{d r}

\frac{d}{d r} e^{- r^{2}} = - 2 r e^{- r^{2}}

\frac{d^{2}}{d r} e^{- r^{2}} = - 2 (e^{- r^{2}} - 2 r^{2} e^{- r^{2}}) = 2 e^{- r^{2}} (2 r^{2} - 1)

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{d^{2}}{d r^{2}} e^{- r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{d}{d r} e^{- r^{2}}

= 2 e^{- r^{2}} (2 r^{2} - 1) - 2 e^{- r^{2}}

= 2 e^{- r^{2}} (2 r^{2} - 2)

= 4 e^{- r^{2}} (r^{2} - 1)

= 4 f (x, y) (r^{2} - 1)

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Plot3D[Exp[-Sqrt[x^2+y^2]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]