ベクトルの基本的性質ベクトル積 2つのベクトル、方向余弦、なす角の正弦、正弦と余弦、各2乗の和

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ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (戸田盛和(著)、渡辺慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-4(ベクトル積)、問題5の解答を求めてみる。

A \times B = (| A | m_{1} | B | n_{2} - | A | n_{1} | B | m_{2}, | A | n_{1} | B | l_{2} - | A | l_{1} | B | n_{2}, | A | l_{1} | B | m_{2} - | A | m_{1} | B | l_{2})

= | A | | B | (m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1}, n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1}, l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})

| A \times B | = | A | | B | \sqrt{{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})}^{2} + {(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})}^{2} + {(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})}^{2}}

| A | | B | \sin θ = | A | | B | \sqrt{{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})}^{2} + {(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})}^{2} + {(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})}^{2}}

\sin θ = \sqrt{{(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})}^{2} + {(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})}^{2} + {(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{1})}^{2}}

また、

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ

\begin{array}{l} = {(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})}^{2} + {(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})}^{2} + {(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{n})}^{2} \\ + {(l_{1} l_{2} + m_{1} m_{2} + n_{1} n_{2})}^{2} \end{array}

\begin{array}{l} = {(m_{1} n_{2} - m_{2} n_{1})}^{2} + {(n_{1} l_{2} - n_{2} l_{1})}^{2} + {(l_{1} m_{2} - l_{2} m_{n})}^{2} \\ + {(l_{1} l_{2})}^{2} + {(m_{1} m_{2})}^{2} + {(n_{1} n_{2})}^{2} + 2 (l_{1} l_{2} m_{1} m_{2} + m_{1} m_{2} n_{1} n_{2} + n_{1} n_{2} l_{1} l_{2}) \end{array}

= (l_{2}^{2} + m_{2}^{2} + n_{2}^{2}) l_{1}^{2} + (m_{2}^{2} + n_{2}^{2} + l_{2}^{2}) m_{1}^{2} + (n_{2}^{2} + m_{2}^{2} + l_{2}^{2}) n_{1}^{2}

= l_{1}^{2} + m_{1}^{2} + n_{1}^{2}

= 1