ベクトルの基本的性質ベクトル積性質、成分

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ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (戸田盛和(著)、渡辺慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-4(ベクトル積)、問題1の解答を求めてみる。

1.16、 1.17

A \times B = (A_{x} i + A_{y} j + A_{z} k) \times (B_{x} i + B_{y} j + B_{z} k)

= A_{x} B_{y} k - A_{x} B_{z} j - A_{y} B_{x} k + A_{y} B_{z} i + A_{z} B_{x} j - A_{z} B_{y} i

= (A_{y} B_{z} - A_{z} B_{y}) i + (A_{z} B_{x} - A_{x} B_{z}) j + (A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x}) k

= {(A \times B)}_{x} i + {(A \times B)}_{y} j + {(A \times B)}_{z} k

1.18 の行列式について。

\det [\begin{matrix} i & j & k \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{matrix}]

= (A_{y} B_{z} - A_{z} B_{y}) i + (A_{z} B_{x} - A_{x} B_{z}) j + (A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x}) k

= A \times B

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {ax, ay, az};
b = {bx, by, bz};

i = {1, 0, 0};
j = {0, 1, 0};
k = {0, 0, 1};

c = Cross[a, b]

i Det[{{ay, az}, {by, bz}}] + j Det[{{az, ax}, {bz, bx}}] + k Det[{{ax, ay}, {bx, by}}]

% == c