ベクトルの基本的性質ベクトルの3重積電場、磁束密度、速度、運動、電荷、荷電粒子、ローレンツ力、直交、座標系

学習環境

ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (戸田盛和(著)、渡辺慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-5(ベクトルの3重積)、問題4の解答を求めてみる。

F = q (E + v \times B) = q (E + (u + \frac{E \times B}{{| B |}^{2}}) \times B)

= q (E + u \times B + \frac{1}{{| B |}^{2}} (E \times B) \times B)

= q (E + u \times B - \frac{1}{{| B |}^{2}} B \times (E \times B))

= q (E + u \times B - \frac{1}{{| B |}^{2}} (E (B \cdot B) - B (B \cdot E)))

= q (E + u \times B - \frac{1}{{| B |}^{2}} (E {| B |}^{2} - B (B \cdot E)))

= q (E + u \times B - E)

= q (u \times B)

確かに問題の座標系では、ローレンツ力から電場Eが消えた。

(0, E, 0) \times \frac{(0, 0, B)}{{| B |}^{2}} = \frac{1}{{| B |}^{2}} (E B, 0, 0) = (\frac{E}{| B |}, 0, 0)

大きさは、

| \frac{E}{B} |

コード(Wolfram Language, Jupyter)

e = {0, ey, 0}

{0, ey, 0}

b = {0, 0, by}

{0, 0, by}

Cross[e, b / Norm[b]^2]

Simplify[%]

Simplify[%, Element[{by, ey}, Reals]]

Norm[%]