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ベクトルの基本的性質 ベクトルの3重積 垂直、内積、分配律、零

ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (戸田 盛和(著)、渡辺 慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-5(ベクトルの3重積)、問題3の解答を求めてみる。

A · ( A × ( B × C ) ) = A · ( B ( C · A ) - C ( A · B ) )
= ( A · B ) ( C · A ) - ( A · C ) ( A · B )
= ( A · B ) ( A · C - A · C )
= 0

よって、 2つのベクトル

A , A × ( B × C )

は垂直である。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = {ax, ay, az}

{ax, ay, az}
b = {bx, by, bz}

{bx, by, bz}
c = {cx, cy, cz}

{cx, cy, cz}
a . Cross[a, Cross[b, c]]
Output
Simplify[%]

0
a = RandomReal[{-5, 5}, {3}]

{-2.40661, 0.158595, 4.44104}
b = RandomReal[{-5, 5}, {3}]

{4.39583, 0.994361, 1.06385}
c = RandomReal[{-5, 5}, {3}]

{-0.470881, 2.5597, 4.77131}
o = {0, 0, 0}

{0, 0, 0}
Graphics3D[{
    Red, Arrow[{o, a}],
    Green, Arrow[{o, Cross[a, Cross[b, c]]}]
}, Axes-> True,AspectRatios -> {1, 1, 1}]
Output
Graphics3D[{
    Red, Arrow[{o, a}],
    Green, Arrow[{o, Cross[a, Cross[b, c]] / 10}]
}, Axes-> True,AspectRatios -> {1, 1, 1}]
Output